WWW.RU.I-DOCX.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные документы
 

«Симедианы и.1. Пусть прямые AA1, BB1 и CC1, проходящие через вершины треугольника ABC, пересекаются в точке P. Докажите, что если точки A2, B2, C2 ...»

Симедианы и.1. Пусть прямые AA1, BB1 и CC1, проходящие через вершины треугольника ABC, пересекаются в точке P. Докажите, что если точки A2, B2, C2 симметричны точкам A1, B1, C1 относительно середин соответствующих сторон, то прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке Q.

Точки P и Q называются изотомически сопряженными.

2. Пусть прямые AA1, BB1 и CC1, проходящие через вершины треугольника ABC, пересекаются в пересекаются в точке P. Докажите, что если прямые AA2, BB2 и CC2 симметричны прямым AA1, BB1 и CC1 относительно биссектрис соответствующих углов, то они пересекаются в одной точке Q.

Точки P и Q называются изогонально сопряженными.

3. Докажите, что прямые, соединяющие точки касания вневписанных окружностей со сторонами треугольника, пересекаются в одной точке.

4. (очень легкая, для сведения) Докажите, что ортоцентр треугольника и центр описанной окружности находятся в изогональном сопряжении.

Прямая, симметричная медиане треугольника относительно биссектрисы этого же угла, называется симедианой.

5. Докажите, что все три симедианы пересекаются в одной точке.

6. Докажите, что при инверсии с центром в вершине A треугольника ABC с радиусом симедиана переходит в медиану получившегося треугольника.

7. Докажите, что симедиана из угла A треугольника ABC, проходит через точку пересечения касательных к описанной окружности треугольника ABC, проведенных в точках B и C.

Попытайтесь доказать предыдущую задачу с помощью а) инверсии из предыдущей задачи; б) подсчета в комплексных числах; в) угловой теоремы Чевы; г) окружности Аполлония (или узнать, что это такое).



8. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. На окружности S1 выбрана точка Q. Прямые QA и QB пересекают окружность S2 в точках C и D, касательные к S1 в точках A и B пересекаются в точке P. Точка Q расположена вне S2, точки C и D вне S1. Докажите, что прямая QP проходит через середину отрезка CD.

9. Две окружности пересекаются в точках A и B, а хорды AM и AN касаются этих окружностей. Треугольник MAN достроен до параллелограмма MANC и отрезки BN и MC разделены точками P и Q в равных отношениях. Докажите, что APQ = ANC.

10. Окружность касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника ABC, а также его сторон AB и AC в точках P и Q соответственно. Докажите, что центр вписанной в треугольник ABC окружности лежит на отрезке PQ. и гармонические четырехугольники

11. Четырехугольник ABCD вписан в окружность S c центром в точке O. Биссектриса угла ABD пересекает сторону AD в точке K, a окружность S в точке M; биссектриса угла CBD пересекает сторону CD в точке L, a окружность S в точке N. Известно, что KL параллельно MN. Докажите, что описанная окружность MON проходит через середину BD.

12. Дана точка A на диаметре BC полуокружности S. Точки X; Y на S таковы, что XAB = YAC. Докажите, что прямые XY проходят через одну точку или параллельны.

13. Точки A и A0 инверсны относительно окружности S, причем A0 —внутри S. Через A0 проводятся хорды XY. Докажите, что центры вписанной и одной из вневписанных окружностей треугольника AXY фиксированы.

14. В окружности фиксирована хорда MN. Для каждого диаметра AB этой окружности рассмотрим точку, в которой пересекаются прямые AM и BN, и проведем через нее прямую l, перпендикулярную AB. Докажите, что все прямые l проходят через одну точку.





15. (гармонический четырехугольник) Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность S. Известно, что касательные к S, проведенные в точках A и C, пересекаются на прямой BD или параллельны BD. Докажите, что касательные к S, проведенные в точках B и D, пересекаются на прямой AC или параллельны AC.

16. (вписанный четырехугольник) Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Диагонали ABCD пересекаются в точке P, продолжения сторон AB и CD — в точке R, продолжения сторон BC и DA — в точке Q. Докажите, четверка точек O; P; Q; R — ортоцентрическая (т. е. каждая точка — ортоцентр треугольника с вершинами в оставшихся трех).

17. (описанный четырехугольник) Четырехугольник ABCD описан около окружности; K, L, M, N — точки касания с окружностью сторон AB, BC, CD, DA, соответственно. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке R, продолжения сторон BC и DA — в точке Q, продолжения сторон KL и MN — в точке S, продолжения сторон LM и NK — в точке T.

а) Докажите, что Q, R, S, T лежат на одной прямой. б) Докажите, что AC, BD, KM, LN пересекаются в одной точке.

18. (вписанно-описанный четырехугольник) Четырехугольник ABCD описан около окружности S1 с центром I и вписан в окружность S2 с центром O. Диагонали ABCD пересекаются в точке P, продолжения сторон AB и CD — в точке R, продолжения сторон BC и DA — в точке Q. а) Докажите, что O, I, P — на одной прямой.

б) Фиксируем S1 и S2, рассмотрим всевозможные четырехугольники ABCD, описанные около окружности S1 и вписанные в окружность S2. Докажите, что для всех таких четырехугольников точки P совпадают, а также прямые QR совпадают.

19. Вписанная окружность треугольника ABC имеет центр I и касается сторон в точках A1, B1, C1. Прямая B1C1 пересекает BC в точке A2. Докажите, что A2I перпендикулярна AA1.

20. Вписанная окружность треугольника ABC имеет центр I и касается сторон в точках A1, B1, C1. Прямая B1C1 пересекает BC в точке A2. Докажите, что проекция C на биссектрису угла ABC лежит на B1C1.

Похожие работы:

«Итоговый тест1. Архитектура этоа) искусство сопоставлять эффекты, т.е. устанавливать отношения между цветами, контурами и планами.б) искусство вырезания, высекания трёхмерного объёма из материала: камня, дерева.в) иск...»

«ПРИРОДА ЖЕНЩИНЫ Для женщины главное в жизни – любовь. Мир женщины – это мир любви, для неё главное – любить, быть любимой, развивать близкие отношения. Для неё жизненно важны: личные отношения, семья, любовь. Женщина намного чаще думает о своём любимом мужчине, чем он о ней. Её природа хочет как можно...»

«Материал для  вступления1. Что такое верность? Это неизменность в своих обещаниях, словах, отношениях. Она основана на ответственности, стойкости, честности, смелости, жертвенности. Полная противоположность верности изм...»

«Тренинг для детей "Стресс и способы регуляции эмоционального состояния". МБОУ СОШ №4 г. Чадана Дзун-Хемчикского кожууна 2016-2017 учебный год. Цель: снять эмоциональное напряжение учащихся, освоить способы управления эмоциона...»

«       "Друзья природы" Конспект занятия в подготовительной группе.       Программное содержание : расширять,  пополнять  и  уточнять   знания детей о природе, раскрывающие  взаимосвязь  между объектами  природы, а также определяющие отношения  между природой и человеком  на основе...»

«Программное содержание:1. Закреплять имеющиеся знания о правилах дорожного движенияпередать знания о правилах поведения на дороге;повторить цвета светофора и название дорожных знаков.2. Развивать ловкость, ориентировку в пространстве, коорд...»

«Жестокость и насилие в жизни: как противостоять им?Цель: воспитание доброго отношения друг к другу, милосердия, сострадания, доброжелательности; помочь взрослеющему человеку сформировать активную жизненную позицию, основанную на уважении себя как личности и уважении окружающих людей.Задачи: Закрепить поня...»

«Приложение к приказу отдела образования от 14.01.2015 №8 Положение о районной военноспортивной игры "Зарница" Военно-спортивные соревнования это комплекс соревновательных мероприятий по основам подготовки к военной службе, физической культуре.Цели:-патриотическое и нравственное воспитание;-морально-психологическая и физическая подготовка...»

«Отчет о проведении операции "Ягодка" в ГБОУ НАО "СШ п. Хорей – Вер" 2016-2017 учебный год 03 сентября 2016 г. с 900 по 1400 ч. в школе состоялась операция "Ягодка". Цель: Провести традиционное мероприятие "Ягодка".Задачи: Пропаганда здорового образа жизни. С...»

«Конспект открытого внеклассного мероприятия “A Trip to London” (урок-путешествие) для учеников 4 классаЦели мероприятия: Познавательный аспект – знакомить учащихся со столицей Соединенного Королевства Великобритании и её достопримечател...»








 
2017 www.ru.i-docx.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.